Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）當(dāng)a∈（0，3）時，求函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）試討論函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

（1）當(dāng)a=1時，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2）f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，
1°．當(dāng)0＜a≤1時，x≥1≥a，這時，f（x）=x²-ax+1，對稱軸x=

a

2

≤

1

2

＜1，
所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，f（x）_min=f（1）=2-a；
2°．當(dāng)1＜a≤2時，x=a時函數(shù)f（x）_min=f（a）=1；
3°．當(dāng)2＜a＜3時，x≤2＜a，這時，f（x）=-x²+ax+1，對稱軸x=

a

2

∈(1，

3

2

)，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函數(shù)f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）因?yàn)閍＞0，所以a＞

a

2

，
所以y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上遞增；y₂=-x²+ax+1在(-∞，

a

2

)遞增，在[

a

2

，a)上遞減．
因?yàn)閒（a）=1，所以當(dāng)a=1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點(diǎn)；
又f(

a

2

)=

a2

4

+1≥2•

a

2

•1=a，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時，等號成立．
所以，當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有1個交點(diǎn)；
當(dāng)a=1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點(diǎn)；
當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點(diǎn)；
當(dāng)a=2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點(diǎn)；
當(dāng)a＞2時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點(diǎn)．