Question

在數(shù)列{an}(n∈N*)中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=4(

an

n

)2，求數(shù)列{（-1）ⁿb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）求證：

1+a1

a1

•

1+a2

a2

•…•

1+an

an

＜9．

Answer 1

分析：（1）方法一：由已知變形得

Sn+1

Sn

=

n+3

n

(n∈N*)，利用“累乘求積”即可得出；
方法二：利用an=

S1，當(dāng)n=1時(shí) Sn-Sn-1，當(dāng)n≥2時(shí)

得到a_n的關(guān)系式，再利用“累乘求積”即可得出；
（2）根據(jù)所求的數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可先求出當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的T_n，進(jìn)而即可得出n為奇數(shù)時(shí)的T_n；
（3）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及裂項(xiàng)求和即可證明．

解答：解：（1）方法1：∵

Sn+1

Sn

=

n+3

n

(n∈N*)，且S₁=a₁=1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=S1•

S2

S1

•

S3

S2

•…•

Sn

Sn-1

=1×

4

1

×

5

2

×

6

3

×…×

n+2

n-1

=

n(n+1)(n+2)

6

，且S₁=1也適合．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

n(n+1)

2

，且a₁=1也適合，∴an=

n(n+1)

2

(n∈N*)．
方法2：∵nS_n+1-（n+3）S_n=0，∴（n-1）S_n-（n+2）S_n-1=0，
兩式相減，得n（S_n+1-S_n）=（n+2）（S_n-S_n-1），即na_n+1=（n+2）a_n，即

an+1

an

=

n+2

n

(n≥2)．
又∵可求得a₂=3，∴

a2

a1

=3也適合上式．綜上，得

an+1

an

=

n+2

n

(n∈N*)．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=a1•

a2

a1

•

a3

a2

•…•

an

an-1

=1×

3

1

×

4

2

×

5

3

×…×

n+1

n-1

=

n(n+1)

2

，且a₁=1也適合，
∴an=

n(n+1)

2

(n∈N*)．
（2）bn=(n+1)2．設(shè)cn=(-1)nbn=(-1)n(n+1)2．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∵cn-1+cn=(-1)n-1•n2+(-1)n•(n+1)2=2n+1，
∴Tn=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(cn-1+cn)=5+9+13+…+(2n+1)=

n 2 [5+(2n+1)]

2

=

n(n+3)

2

．
當(dāng)n為奇數(shù)（n≥3）時(shí)，Tn=Tn-1+cn=

(n-1)(n+2)

2

-(n+1)2=-

n2+3n+4

2

，且T₁=c₁=-4也適合上式．
綜上：得Tn=

- n2+3n+4 2 (n為奇數(shù)) n(n+3) 2 (n為偶數(shù))

．
（3）令f（x）=x-ln（1+x）．
當(dāng)x＞0時(shí)，∵f′(x)=1-

1

1+x

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．
令x=

1

ai

(i=1，2，…，n)，得ln(1+

1

ai

)＜

1

ai

=

2

i(i+1)

=2(

1

i

-

1

i+1

)，
∴

n

i=1

ln(1+

1

ai

)＜2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)＜2，
∴ln[(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)]＜2，
∴

1+a1

a1

•

1+a2

a2

•…•

1+an

an

＜e2＜9．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系an=

S1，當(dāng)n=1時(shí) Sn-Sn-1，當(dāng)n≥2時(shí)

、“累乘求積”、構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性及裂項(xiàng)求和是解題的關(guān)鍵．