（2008•鹽城一模）設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足
PF1
•
PF2
=0，則
e
2
1
+
e
2
2
(e1e2)2
的值為
2
2
．
分析：根據(jù)題意，設(shè)它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關(guān)于a、c、m的方程，聯(lián)解可得a2+m2=2c2，再根據(jù)離心率的定義化簡整理即可得到
e
2
1
+
e
2
2
(e1e2)2
的值．
解答：解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，
設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2m  ①
由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a  ②
又∵
PF1
•
PF2
=0∴
PF1
⊥
PF2
，可得∠F1PF2=900，
故|PF1|2+|PF2|2=4c2   ③
①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即
1
c 2
a2
+
1
c 2
m2
=2，可得
1
e12
+
1
e22
=2
因此，
e
2
1
+
e
2
2
(e1e2)2
=
1
e12
+
1
e22
=2
故答案為：2
點評：本題給出雙曲線與橢圓有公共的焦點，在它們的一個交點對兩個焦點所成角為直角的情況下求它們離心率的平方倒數(shù)和．著重考查了橢圓和雙曲線的定義、標準方程、簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•鹽城一模）曲線y=e
12
x在點（4，e2）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為
e2
e2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•鹽城一模）一枚半徑為1的硬幣隨機落在邊長為3的正方形所在平面內(nèi)，且硬幣一定落在正方形內(nèi)部或與正方形有公共點，則硬幣與正方形沒有公共點的概率是
1
21+π
1
21+π
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•鹽城一模）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤?br />
甲的成績
環(huán)數(shù) 7 8 9 10
頻數(shù) 5 5 5 5
乙的成績
環(huán)數(shù) 7 8 9 10
頻數(shù) 6 4 4 6
丙的成績
環(huán)數(shù) 7 8 9 10
頻數(shù) 4 6 6 4
s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三人成績的標準差，則s1，s2，s3的大小順序是
s2＞s1＞s3
s2＞s1＞s3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•鹽城一模）已知函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a處取到極大值，則a的取值范圍是
（-1，0）
（-1，0）
．

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