在△ABC中，
AC
AB
=
cosB
cosC
．
（Ⅰ）證明B=C：
（Ⅱ）若cosA=-
1
3
，求sin(4B+
π
3
)的值．
分析：（1）先根據(jù)正弦定理將邊的比值轉(zhuǎn)化為正弦值的比，交叉相乘后根據(jù)兩角和與差的正弦公式可求出sin（B-C）=0．再由B，C的范圍可判斷B=C得證．
（2）先根據(jù)（1）確定A，與B的關(guān)系，再由誘導(dǎo)公式可求出cos2B的值，然后由基本關(guān)系式可求sin2B的值最后由二倍角公式和兩角和與差的正弦公式可求最后答案．
解答：（Ⅰ）證明：在△ABC中，由正弦定理及已知得
sinB
sinC
=
cosB
cosC
．
于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0．
因?yàn)?π＜B-C＜π，從而B(niǎo)-C=0．所以B=C；
（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B，
故cos2B=-cos（π-2B）=-cosA=
1
3
．
又0＜2B＜π，于是sin2B=
1-cos22B
=
2
2
3
．
從而sin4B=2sin2Bcos2B=
4
2
9
，
cos4B=cos22B-sin22B=-
7
9
．
所以sin(4B+
π
3
)=sin4Bcos
π
3
+cos4Bsin
π
3
=
4
2
-7
3
18
．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N+）個(gè)字母的字符串，要求由a開(kāi)始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*，n≥1)；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：
2
9
≤P≤
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年江蘇省海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、金陵中學(xué)高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N+）個(gè)字母的字符串，要求由a開(kāi)始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：．

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用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N+）個(gè)字母的字符串，要求由a開(kāi)始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為an．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：．

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（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：．

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