Question

已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于5.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；
(2)記(1)中的軌跡為，過(guò)點(diǎn)的直線被所截得的線段的長(zhǎng)為8，求直線的方程

Answer 1

（1）點(diǎn)M的軌跡方程是(x－1)²＋(y－1)²＝25，軌跡是以(1,1)為圓心，以5為半徑的圓
（2）直線l的方程為x＝－2，或5x－12y＋46＝0．

試題分析：解：(1)由題意，得＝5．，化簡(jiǎn)，得x²＋y²－2x－2y－23＝0．即(x－1)²＋(y－1)²＝25．∴點(diǎn)M的軌跡方程是(x－1)²＋(y－1)²＝25，軌跡是以(1,1)為圓心，以5為半徑的圓．
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝－2，此時(shí)所截得的線段的長(zhǎng)為，∴l(xiāng)：x＝－2符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圓心到l的距離，由題意，得，解得．∴直線l的方程為．即5x－12y＋46＝0．綜上，直線l的方程為x＝－2，或5x－12y＋46＝0．
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)直接法來(lái)得到點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系，然后坐標(biāo)化得到求解，并能結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系來(lái)得到，屬于基礎(chǔ)題。