Question

（2012•密云縣一模）若定義在[-2010，2010]上的函數(shù)f（x）滿足．對(duì)于任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，且x＞0時(shí)，有f（x）＞2011，f（x）的最大值，最小值分別為M，N，則M+N的值為（　�。�

A．2011

B．2010

C．4022

D．4010

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)：g（x）=f（x）-2011，可得函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，且在[-2010，2010]上是增函數(shù)．由此可得g（x）最大值為g（2010）=m，則最小值為g（-2010）=-m，再結(jié)合f（x）與g（x）的關(guān)系，不難得到f（x）的最大值與最小值的和M+N．

解答：解：令g（x）=f（x）-2011，由已知條件
對(duì)任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，
∴f（x₁+x₂）-2011=[f（x₁）-2011]+[f（x₂）-2011]，
可得g（x₁+x₂）=g（x₁）+g（x₂）
∵x＞0時(shí)，有f（x）＞2011，∴x＞0時(shí)，g（x）＞0
令x₁=x₂=0，可得g（0）=0
 令x₁=x，x₂=-x，可得g（0）=g（-x）+g（x）=0，
所以 g（-x）=-g（x），得 g（x）是奇函數(shù)
∵g（x₁）-g（x₂）=g（x₁）+g（-x₂）=g（x₁-x₂）
∴當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，g（x₁-x₂）＞0，得g（x₁）＞g（x₂），所以g（x）是[-2010，2010]上的增函數(shù)
由此可得 g（x） 最大值為g（2010）=m，則最小值為g（-2010）=-m
因此，由f（x）=g（x）+2011 得 f（x） 最大值為M=m+2011，最小值為-m+2011，
所以 M+N=m+2011+（-m）+2011=4022
故答案為：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，通過討論它的奇偶性和單調(diào)性，求函數(shù)最大最小值的和．考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性相綜合的問題的理解，屬于中檔題．