Question

已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；

（2）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和不小于，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）[4,+∞).

【解析】

試題分析：（1）利用奇偶性定義可證；（2）利用單調(diào)性定義可證；（3）在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，由題意可得關(guān)于的不等式，解不等式即可.

試題解析：

【解析】
（1）函數(shù)是奇函數(shù)， 1分

∵函數(shù)的定義域為，在軸上關(guān)于原點對稱， 2分

且， 3分

∴函數(shù)是奇函數(shù). 4分

（2）證明：設(shè)任意實數(shù)，且， 5分

則， 6分

∵ ∴， 7分

∴<0 ， 8分

∴<0,即， 9分

∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù). 10分

（3）∵，

∴函數(shù)在區(qū)間上也為增函數(shù). 11分

∴， 12分

若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和不小于，

則， 13分

∴，

∴的取值范圍是[4,+∞). 14分

考點：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，最值.