是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9對任意自然數(shù)n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：我們將n=1，2，3，4依次代入，計算相應(yīng)的f（n）的值，由此不難得到滿足條件的m值，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對結(jié)論進行證明．
解答：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，顯然成立．
（2）假設(shè)n=k時，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；
當(dāng)n=k+1時，[2（k+1）+7]•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
由于3k-1-1是2的倍數(shù)，故18（3k-1-1）能被36整除．
這就是說，當(dāng)n=k+1時，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值為36．
點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn和通項an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)（q是常數(shù)且q＞0，q≠1，）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）當(dāng)q=
1
3
時，試證明a1+a2+…+an＜
1
2
；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整數(shù)m，使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
≥
m
3
對任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3（ax+b）圖象過點A（2，1）和B（5，2），設(shè)an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數(shù)a；
（Ⅲ）對每一個k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數(shù)列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，記為{bn}，設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，試問是否存在正整數(shù)m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前10項和為100，且a4=7，對任意的k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數(shù)列{bn}，設(shè)Sn、Tn分別是{an}﹑{bn}前n項和．
（Ⅰ）a10是數(shù)列{bn}的第幾項？
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若am是數(shù)列{bn}的第f（m）項，試比較Tf（m）與Sm+2的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正實數(shù)，bn=log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若p=2，設(shè)數(shù)列{cn}對任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，問數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知數(shù)列{an}，定義其倒均數(shù)是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
，n∈N*．
（1）若數(shù)列{an}倒均數(shù)是Vn=
n+2
2
，求an；
（2）若等比數(shù)列{bn}的公比q=2，其倒均數(shù)為Vn，問是否存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n≥m（n∈N*）時，nVn＜
15
8b1
恒成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案