Question

已知圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)G在y軸上的射影為H，點(diǎn)M滿足條件2

PM

=

PH

+

PG

，P為圓外任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)D(0，

3

)的直線l與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩個(gè)不同點(diǎn)，已知向量m=(x1，

y1

2

)，n=(x2，

y2

2

)，若m•n=0，求直線AB的斜率k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），G（x₀，y₀），H（0，y），由2

PM

=

PG

+

PH

⇒M為HG的中點(diǎn)，知

x0=2x y0=y

．由點(diǎn)G（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上，知（2x）²+y²=4，點(diǎn) 此能M 軌同跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)AB的方程為y=kx+

3

．聯(lián)立

y=kx+ 3 y2+4x2=4

⇒(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠求出直線AB的斜率k的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，設(shè)M（x，y），G（x₀，y₀），
則H（0，y），
∵2

PM

=

PG

+

PH

⇒M為HG的中點(diǎn)，
∴

x0=2x y0=y

．…（3分）
∵點(diǎn)G（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上，
∴（2x）²+y²=4，
∴點(diǎn)M軌跡C的方程為

y2

4

+x2=1．                          …（6分）
（Ⅱ）由題意，設(shè)AB的方程為y=kx+

3

．
聯(lián)立

y=kx+ 3 y2+4x2=4

⇒(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
∴x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x1x 2=

-1

k2+4

．…（8分）
由已知m•n=x1x2+

y1y2

4

=x1x2+

1

4

(kx1+

3

)(kx2+

3

)
=(1+

k2

4

)x1x2+

3 k

4

(x1+x2)+

3

4

=

k2+4

4

(-

1

k2+4

)+

3 k

4

•

-2 3 k

k2+4

+

3

4

．
由

k2+4

4

(-

1

k2+4

)+

3 k

4

•

-2 3 k

k2+4

+

3

4

=0，
解得k=±

2

．      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，具體涉及到橢圓的性質(zhì)和點(diǎn)的軌跡的求法以圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．