Question

過(guò)圓x²+y²=1上一點(diǎn)P作圓的切線與x軸和y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|

OA

+2

OB

|的最小值是

3

．

Answer 1

分析：設(shè)∠OBP=α，由O＜α＜

π

2

，∠OAP=

π

2

-α，知|

OA

+2

OB

|=|（

1

cosα

，

2

sinα

）|然后利用向量的模以及基本不等式求出表達(dá)式的最小值即可．

解答：解：設(shè)∠OAP=α，
∵O＜α＜

π

2

，∠OBP=

π

2

-α，

OA

=(

1

cosα

，0)，2

OB

=(0，

2

sinα

)，
∴|

OA

+2

OB

|=|（

1

cosα

，

2

sinα

）|=

( 1 cosα )2+( 2 sinα )2

=

sin2α+4cos2α sin2αcos2α

=

sin4α+4cos4α+5sin2αcos2α sin2αcos2α

=

tan2α+ 4 tan2α +5

≥

9

=3，當(dāng)且僅當(dāng)tan²α=

4

tan2α

時(shí)，表達(dá)式取得最小值．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地運(yùn)用均值不等式進(jìn)行解題．