Question

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率；
（2）對(duì)于由（1）得到的橢圓C，過(guò)點(diǎn)P的直線l交x軸于點(diǎn)Q（-1，0），交y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定直線AP與BP的斜率，利用直線AP與BP的斜率之積為-，點(diǎn)P在橢圓上，即可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)出直線l的方程，利用，求得P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P在橢圓上，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由已知A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x，y）（x≠±a）．…（1分）
則直線AP的斜率，直線BP的斜率．
由，得．…（2分）
∴k_AP×k_AP=×…（3分）
∴，得a²=4，…（4分）
∴．…（5分）
∴橢圓的離心率．…（6分）
（2）由題意知直線l的斜率存在．…（7分）
設(shè)直線l的斜率為k，直線l的方程為y=k（x+1）…（8分）
則有M（0，k），設(shè)P（x，y）（x≠±a），由于P，M，Q三點(diǎn)共線，且
根據(jù)題意，得（x，y-k）=±2（x+1，y）…（9分）
解得或…（11分）
又點(diǎn)P在橢圓上，又由（1）知橢圓C的方程為
所以…①或…②
由①解得k²=0，即k=0，∵此時(shí)點(diǎn)P與橢圓左端點(diǎn)A重合，∴k=0舍去；            …（12分）
由②解得k²=16，即k=±4，∴直線直線l的斜率k=±4．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線斜率、橢圓的方程、離心率、向量的運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程的思想方法，考查綜合運(yùn)用能力以及運(yùn)算求解能力．