【題目】已知函數(shù), 在和處取得極值,且,曲線在處的切線與直線垂直.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)證明關于的方程至多只有兩個實數(shù)根(其中是的導函數(shù), 是自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)先求,根據(jù)韋達定理及列出關于 的方程組,進而可得結果;(Ⅱ)圓方程等價于,令,研究函數(shù) 的單調(diào)性,討論與兩種情況分別證明即可.
試題解析:(Ⅰ) ,因為在和處取得極值,
所以和是方程的兩個根,則, ,
又,則,所以.
由已知曲線在處的切線與直線垂直,所以可得,
即,由此可得解得
所以
(Ⅱ)對于,
(1)當時,得,方程無實數(shù)根;
(2)當時,得,令,
,
當時, ;
當或時, ;當時, .
∴的單調(diào)遞減區(qū)間是和,單調(diào)遞增區(qū)間是,
函數(shù)在和處分別取得極小值和極大值.
, ,
對于,由于恒成立,
且是與軸有兩個交點、開口向上的拋物線,
所以曲線與軸有且只有兩個交點,從而無最大值, .
若時 ,直線與曲線至多有兩個交點;
若 ,直線與曲線只有一個交點;
綜上所述,無論取何實數(shù),方程至多只有兩實數(shù)根.
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【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( 。
A.y=﹣x3
B.y=
C.y=x
D.y=
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【題目】某市地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究所的數(shù)據(jù)顯示,2016年該市新建住宅銷售均價走勢如下圖所示,3月至7月房價上漲過快,政府從8月采取宏觀調(diào)控措施,10月份開始房價得到很好的抑制.
(1)地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究所發(fā)現(xiàn),3月至7月的各月均價(萬元/平方米)與月份之間具有較強的線性相關關系,試求關于的回歸方程;
(2)政府若不調(diào)控,依次相關關系預測第12月份該市新建住宅的銷售均價.
參考數(shù)據(jù): , , ;
回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公示分別為:
, .
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【題目】已知橢圓與拋物線共焦點,拋物線上的點M到y軸的距離等于,且橢圓與拋物線的交點Q滿足.
(I)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(II)過拋物線上的點作拋物線的切線交橢圓于、 兩點,設線段AB的中點為,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù);
(1)求函數(shù)f(x)的周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在給出的直角坐標系中,請用五點作圖法畫出f(x)在區(qū)間[0,π]上的圖象.
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【題目】已知定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2)=0,且在(﹣∞,0)上是增函數(shù);又定義行列式=a1a4﹣a2a3; 函數(shù)g(θ)=(其中0≤θ≤).
(1)證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù);
(2)若函數(shù)g(θ)的最大值為4,求m的值;
(3)若記集合M={m|任意的0≤θ≤ , g(θ)>0},N={m|任意的0≤θ≤ , f[g(θ)]<0},求M∩N.
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【題目】在直角坐標系xOy中,點P到兩點(0,﹣),(0,)的距離之和等于4,設點P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A,B兩點.
(1)寫出C的方程;
(2)若⊥ , 求k的值.
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