設(shè)向量
OQ
=(
3
， -1)，向量
OP
=(cosα，  sinα)，0≤α＜π．
（1）若向量
OP
⊥
OQ
，求tanα的值；
（2）求|
PQ
|的最大值及此時α的值．
分析：（1）利用向量
OP
⊥
OQ
，推出量
OP
•
OQ
=0，得到
3
cosα- sinα=0，然后求tanα的值；
（2）表示出|
PQ
|，化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，根據(jù)0≤α＜π，求|
PQ
|的最大值及此時α的值．
解答：解：（1）由于
OP
⊥
OQ
，則
3
cosα- sinα=0，（3分）
顯然cosα≠0，兩邊同時除以cosα得，tanα=
3
；（6分）
（2）由于|
PQ
|=
(cosα-
3
)2+(sinα+1)2
，（8分）
即|
PQ
|=
5+2sinα-2
3
cosα
，
∴|
PQ
|=
5+4(
1
2
sinα-
3
2
cosα
)=
5+4sin(α-
π
3
)（10分）
由于0≤α＜π，則-
π
3
≤α-
π
3
＜
2π
3
，（11分）
則α-
π
3
=
π
2
，即α=
5π
6
時，|
PQ
|最大值為3．（13分）
點評：本題考查數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，向量的模，考查學(xué)生運算能力，三角函數(shù)的值域，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2=4．
（1）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2
3
，求直線l的方程；
（2）過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點為N，若向量
OQ
=
OM
+
ON
，求動點Q的軌跡方程．
（3）若點R（1，0），在（2）的條件下，求|
RQ
|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）設(shè)向量
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，定義一種向量積
a
?
b
=(a1b1，a2b2)，已知
m
=(2，
1
2
)，
n
=(
π
3
，0)，點P（x，y）在y=sinx的圖象上運動．Q是函數(shù)y=f（x）圖象上的點，且滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O為坐標(biāo)原點），函數(shù)y=f（x）的值域是
[-
1
2
，
1
2
]
[-
1
2
，
1
2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•門頭溝區(qū)一模）設(shè)向量
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），定義一種向量積：
a
?
b
=（a1，a2）?（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知
m
=（
1
2
，3），
n
=（
π
6
，0），點P在y=sinx的圖象上運動，點Q在y=f（x）的圖象上運動，且滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O為坐標(biāo)原點），則y=f（x）的最大值是
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)向量
OQ
=(
3
， -1)，向量
OP
=(cosα，  sinα)，0≤α＜π．
（1）若向量
OP
⊥
OQ
，求tanα的值；
（2）求|
PQ
|的最大值及此時α的值．

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