已知雙曲線x2-4y2=4,求過點A(3,-1)且被A平分的弦MN所在的直線方程.

思路解析：設而不求，即設出A、B的坐標，聯(lián)立方程組，利用韋達定理，整體消參.也可用對稱性解決.

解法一：設過A（3，-1）的直線方程為y=k(x-3)-1,

代入雙曲線方程,得x2-4［k(x-3)-1］2=4.

整理得(4k2-1)x2-8k(3k+1)x+36k2+24k+8=0.

若直線與雙曲線交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點，則Δ≥0,

由韋達定理,得x1+x2=.                                                ①

∵A平分MN,∴=3,解得k=-,代入①驗證，滿足Δ≥0,

∴MN存在. ∴所求直線方程y=-(x-3)-1,即3x+4y-5=0.

解法二：設M(x1,y1),N(x2,y2),則

由(1)-(2),得x12-x22=4(y12-y22),即=.

將(3)、(4)代入上式,得kMN==-,

故MN所在直線方程為y+1=-(x-3),

即3x+4y-5=0,與雙曲線方程x2-4y=4聯(lián)立，消去y得5x2-30x+41=0.

∵Δ=302-820＞0,∴M、N兩點存在.

所求直線方程為3x+4y-5=0.

解法三：設弦MN一個端點的坐標為(x,y)，則弦另一個端點的坐標為(6-x,-2-y).

若MN存在，則M、N兩點在雙曲線上，

∴x2-4y2=4,                                                                         ①

且(6-x)2-4(-2-y)2=4.                                                            ②

①-②整理,得3x+4y-5=0.

與雙曲線方程x2-4y2=4聯(lián)立,消去y,得5x2-30x+41=0,

∵Δ=302-820＞0,∴該直線與雙曲線相交于兩點.

∴所求直線方程為3x+4y-5=0.

誤區(qū)警示

    直線與雙曲線的關系中，都需要對所求直線的存在性進行驗證（這一點與橢圓不同）,否則就容易出現(xiàn)錯誤.


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1的一個焦點與拋物線x2=4y的焦點重合，且雙曲線的實軸長是虛軸長的一半，則該雙曲線的方程為（　�。�
A、5y2-
5
4
x2=1
B、
x 2
5
 - 
y2
4
=1
C、
y2
5
-
x2
4
=1
D、5x2-
5
4
y2=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=20y的焦點重合，且其漸近線的方程為3x±4y=0，則該雙曲線的標準方程為（　�。�
A、
x2
9
-
y2
16
=1
B、
x2
16
-
y2
9
=1
C、
y2
9
-
x2
16
=1
D、
y2
16
-
x2
9
=1

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已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=4y的焦點重合，且雙曲線的實軸長是虛軸長的一半，則該雙曲線的方程為（ ）
A．
B．
C．
D．

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已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=4y的焦點重合，且雙曲線的實軸長是虛軸長的一半，則該雙曲線的方程為（ ）
A．
B．
C．
D．

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A．
B．
C．
D．

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