Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥BB₁；
（Ⅱ）若P是棱B₁C₁的中點(diǎn)，求平面PAB將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的兩部分體積之比．?dāng)]�。�

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得平面ABB₁A₁⊥平面ABC，從而AB⊥AC，進(jìn)而AC⊥平面ABB₁A₁，由此能證明AC⊥BB₁．
（Ⅱ）設(shè)平面PAB與棱A₁C₁交于Q，連結(jié)AQ，PQ，將棱臺(tái)C₁PQ-ABC還原為棱錐S-ABC，由此能求出平面PAB將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的兩部分體積之比．

解答： （Ⅰ）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁B⊥平面ABC，A₁B?平面ABB₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∵平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，AB⊥AC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴AC⊥BB₁．

（Ⅱ）解：設(shè)平面PAB與棱A₁C₁交于Q，
∵P為棱B₁C₁的中點(diǎn)，∴Q為棱A₁C₁的中點(diǎn)，
連結(jié)AQ，PQ，
設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積為S，高為h，體積為V，
則Sh=V，
如圖，將棱臺(tái)C₁PQ-ABC還原為棱錐S-ABC，
解得VPQC1-ABC=

7

12

V，
VAB-A1B1PQ=V-

7

12

V=

5

12

V，
∴平面PAB將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的兩部分體積之比為：

VPQC1-ABC

VAB-A1B1PQ

=

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明，考查兩個(gè)幾何體的體積之比的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．