Question

已知f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1-log_an，1-log_am]，若存在，求出實數(shù)a的取值范圍，若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（ I）由

x+1

x-1

＞0求得函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，再根據(jù)f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
（ II）任取1＜x₁＜x₂，證得 

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

，可得當a＞1時，loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，故f（x₁）＞
f（x₂），函數(shù)f（x）在區(qū)間（1+∞）上單調(diào)遞減．同理可證：當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)遞增．
（ III）假設存在實數(shù)a滿足題目條件，由題意得1＜m＜n，a＞1．由（ II）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得

f(m)=1-logam f(n)=1-logan

，化簡可得

m2+(1-a)m+a=0 n2+(1-a)n+a=0

，m和n是方程x²+（1-a）x+a=0的兩個根，故有

△=(1-a)2-a＞0 - 1-a 2 ＞1 1+(1-a)+a＞0

，由此解得a的范圍．

解答：解：（ I）由

x+1

x-1

＞0得：x＜-1，或x＞1，所以，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
又 f（-x）=log_a

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=-loga

x+1

x-1

=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)．
（ II）任取1＜x₁＜x₂，則 x₁-x₂＜0．
因為

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x 2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，所以

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

，當a＞1時，
所以，loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，故f（x₁）＞f（x₂），所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1+∞）上單調(diào)遞減．
同理可證：當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)遞增．
（ III）假設存在實數(shù)a滿足題目條件，由題意得：m＞0，n＞0，又[m，n]⊆（-∞，-1）∪（1，+∞），∴1＜m＜n．
又 1-log_an1-log_am，log_am＞log_an，∴a＞1．
故由（ II）得：函數(shù)f（x）在區(qū)（1，+∞）上單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）在區(qū)[m，n]上單調(diào)遞減．
故

f(m)=1-logam f(n)=1-logan

，即

loga m+1 m-1 =1-logam loga n+1 n-1 =1-logan

，化簡可得

m2+(1-a)m+a=0 n2+(1-a)n+a=0

，
∴m和n是方程x²+（1-a）x+a=0的兩個根，∴

△=(1-a)2-a＞0 - 1-a 2 ＞1 1+(1-a)+a＞0

，解得a＞3+2

2

．
再根據(jù)a＞1，可得a＞3+2

2

．
綜上，滿足條件的實數(shù)a存在，且a的范圍（3+2

2

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．