Question

已知（x³+

1

x2

）ⁿ的展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于32．
（I） 求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中的含x的奇次項(xiàng)系數(shù)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（I）由條件求出n的值，可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
（Ⅱ）利用展開(kāi)式中的含x的奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于展開(kāi)式中的含x的偶次項(xiàng)系數(shù)的和，即可求展開(kāi)式中的含x的奇次項(xiàng)系數(shù)的和．

解答： 解：（I）∵（x³+

1

x2

）ⁿ展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=32，∴n=5，
故展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=

C

r 5

•x^15-5r，
令r=3，可得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

C

3 5

=10；
（Ⅱ）展開(kāi)式中的含x的奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于展開(kāi)式中的含x的偶次項(xiàng)系數(shù)的和，
故展開(kāi)式中的含x的奇次項(xiàng)系數(shù)的和為16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．