Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對任意的x，x′∈R，均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且對任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3，f（x）是減函數(shù)，求y=f（x）在[m，n]（m，n∈Z，且mn＜0）上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義和減函數(shù)的定義，得出f（m）=-m，從而求出函數(shù)的值域．

解答： 解：∵f（x+x′）=f（x）+f（x′）
令x=0，則有
f（0+x′）=f（0）+f（x′）
∴f（0）=0
令x′=-x
f（x-x′）=f（x）+f（-x）
f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）在R上是奇函數(shù)，
又f（x）是減函數(shù)，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=2f（1）+f（1）=3f（1）=-3
f（1）=-1
易知，m＞0時(shí)，f（m）=mf（1）=-m
m＜0時(shí)，f（m）=-f（-m）=-（-m）f（1）=mf（1）=-m
∴f（m）=-m，m是任意整數(shù)
∴函數(shù)在[m，n]上的值域是[-n，-m]

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的奇偶性，是一道中檔題．