Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x³+1；
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）（x∈[t，t+1]）的最小值g（t）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得f（x）=f（-x），結(jié)合x≥0時的函數(shù)解析式，可求出x＜0時，函數(shù)的解析式，進而可得y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分別討論t+1≤0，即t≤-1時；t＜0＜t+1，即-1＜t＜0時和t≥0時函數(shù)的F（x）的最小值，最后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）
x≥0時，f（x）=x³+1
∴x＜0時，f（x）=f（-x）=（-x）³+1=-x³+1
故f（x）=

x3+1，x≥0 -x3+1，x＜0

…（5分）
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的解析式楞各
當t+1≤0，即t≤-1時
f（x）=-x³+1在區(qū)間[t，t+1]上為減函數(shù)
∴F（x）_min=f（t+1）=-（t+1）³+1…（7分）
當t＜0＜t+1，即-1＜t＜0時
f（x）=-x³+1在區(qū)間[t，0]上為減函數(shù)，區(qū)間[0，t+1]上為減函數(shù)
F（x）_min=f（0）=1…（9分）
當t≥0時，f（t）=t³+1在區(qū)間[t，t+1]上為增函數(shù)
F（x）_min=f（t）=t³+1        …（11分）
故：F（x）_min=g（t）=

-(t+1)3+1，t≤1 1，-1＜t＜0 t3+1，t≥0

…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)的解析式是解答的關鍵．