Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），a＞0且a≠1
（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域且判斷奇偶性；
（2）求不等式f（x）≥g（x）的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義即可求出定義域，再根據(jù)奇偶性的定義即可判斷；
（2）需要分類(lèi)討論，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式解得即可，注意定義域．

解答： 解：（1）令F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）=log_a（1-x²），
∵1-x²＞0，解得-1＜x＜1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），
∵F（-x）=log_a（1-（-x）²）=log_a（1-（-x）²）=F（x），
∴F（x）為偶函數(shù)，
即f（x）+g（x）為偶函數(shù)，
（2）∵f（x）≥g（x）
∴l(xiāng)og_a（x+1）≥log_a（1-x），
當(dāng)a＞1時(shí)，x+1≥1-x，解得0≤x＜1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x+1≤1-x，解得-1＜x≤0，
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，解集為[0，1），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為（-1，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及函數(shù)的奇偶性，不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題