Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點（2，4），A，B為拋物線C上異于坐標(biāo)原點O的兩個動點，且滿足

OA

•

OB

=0．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求證：直線AB恒過定點（2p，0）；
（Ⅲ）若線段AB的中垂線經(jīng)過點（16，0），求線段AB的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點（2，4），能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），則

y12y22

4p2

+y1y2=0，從而求出AB方程：y-y₁=

2p

y1+y2

（x-

y12

2p

），由此能證明AB過定點（2p，0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知AB過點（8，0），線段AB的中垂線經(jīng)過點（16，0），從而AB垂直于x軸，由此能求出線段AB的長．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點（2，4），
∴4p=16，解得p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x．
（Ⅱ）證明：設(shè)A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB，
∴

y12y22

4p2

+y1y2=0，
∴y₁y₂=-4p²，
k_AB=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，
∴AB方程：y-y₁=

2p

y1+y2

（x-

y12

2p

）
當(dāng)y=0時，x=2p，
∴AB過定點（2p，0）．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知AB過點（8，0），
∵線段AB的中垂線經(jīng)過點（16，0），
∴AB垂直于x軸，
∴x=8于y²=8x交于A，B兩點，
∴A（8，-8），B（8，8），
∴線段AB的長為16．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查弦長的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．