已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1斜率為正數(shù)的直線(xiàn)交Γ與A、B兩點(diǎn)，且AB⊥AF2，|AF2|、|AB|、|BF2|成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求Γ的離心率；
（Ⅱ）若直線(xiàn)y=kx（k＜0）與Γ交于C、D兩點(diǎn)，求使四邊形ABCD面積S最大時(shí)k的值．
（Ⅰ）根據(jù)橢圓定義及已知條件，有
|AF2|+|AB|+|BF2|=4a，①
|AF2|+|BF2|=2|AB|，②
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，③…（3分）
由①、②、③，解得|AF2|=a，|AB|=
4
3
a，|BF2|=
5
3
a，
所以點(diǎn)A為短軸端點(diǎn)，b=c=
2
2
a，
Γ的離心率e=
c
a
=
2
2
．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程為x2+2y2=a2．
不妨設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），
則C、D坐標(biāo)滿(mǎn)足
x2+2y2=a2
y=kx
，
由此得x1=-
a
1+2k2
，x2=
a
1+2k2
．
設(shè)C、D兩點(diǎn)到直線(xiàn)AB：x-y+
2
2
a=0的距離分別為d1、d2，
因C、D兩點(diǎn)在直線(xiàn)AB的異側(cè)，則
d1+d2=
(x2-x1)-(y2-y1)
2

=
(1-k)(x2-x1)
2

=
2
(1-k)a
1+2 k2
．…（8分）
∴S=
1
2
|AB|（ d1+d2）
=
1
2
•
4
3
a•
2
(1-k)a
1+2k2

=
2
2
a2
3
 • 
1-k
1+2 k2
．
設(shè)t=1-k，則t＞1，
(1-k )2
1+2k2
=
t2
2t2-4t+3
=
1
2-
4
t
+ 
3
t2
，
當(dāng)
1
t
=
2
3
，即k=-
1
2
時(shí)，
(1-k)2
1+2k2
最大，進(jìn)而S有最大值．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且cos∠F1PF2的最小值為
1
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動(dòng)圓x2+y2=t2（
2
＜t＜
3
）與橢圓C相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)，直線(xiàn)（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒過(guò)的定點(diǎn)F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為3，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線(xiàn)MN為垂直于x軸的動(dòng)弦，且M、N均在橢圓C上，定點(diǎn)T（4，0），直線(xiàn)MF與直線(xiàn)NT交于點(diǎn)S．求證：
    ①點(diǎn)S恒在橢圓C上；
    ②求△MST面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P到F1與F2距離之和為4，
（1）求橢圓C1方程．
（2）若一動(dòng)圓過(guò)F2且與直線(xiàn)x=-1相切，求動(dòng)圓圓心軌跡C方程．
（3）在（2）軌跡C上有兩點(diǎn)M，N，橢圓C1上有兩點(diǎn)P，Q，滿(mǎn)足
MF2
與
NF2
共線(xiàn)，
PF2
與
QF2
共線(xiàn)，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A、B，短軸上端頂點(diǎn)為M，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且
AF
•
FB
=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線(xiàn)l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C1的方程；
（II）直線(xiàn)l1過(guò)橢圓C1的左焦點(diǎn)F1，且與x軸垂直，動(dòng)直線(xiàn)l2垂直于直線(xiàn)l2，垂足為點(diǎn)P，線(xiàn)段PF2的垂直平分線(xiàn)交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（III）設(shè)C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)R、S滿(mǎn)足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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同步練習(xí)冊(cè)答案