Question

求證：如果兩個平面都垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面．已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求證：l⊥γ．

Answer 1

答案：略
解析：

思維分析1：根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可在γ內(nèi)構(gòu)造兩相交直線分別與平面α、β垂直． 證法1：如圖，設(shè)α∩γ＝α，β∩α＝b在γ內(nèi)任取一點p，過點p在γ內(nèi)作直線m⊥a，n⊥b．∵a⊥，β⊥γ，∴m⊥o，n⊥β(面面垂直的性質(zhì))．又∩β＝l，∴l⊥m，l⊥n，∴l⊥γ． 思維分析2：由面面垂直的性質(zhì)易在α、β內(nèi)作出平面γ的垂線，再設(shè)法證明l與其平行即可． 證法2：如圖，在α內(nèi)作m⊥α，在β內(nèi)作n⊥b．∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，nβ，mβ∴m∥β又α∩β＝l，ma，∴m∥l．又m⊥γ，∴l⊥γ． 充分利用面面垂直的性質(zhì)構(gòu)造面垂直是解決本題關(guān)鍵，證法1充分利用面面垂直、線面垂直、線線垂直相轉(zhuǎn)化；證法2涉及垂直關(guān)系與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，此題是線線、線面、面面垂直轉(zhuǎn)化的典型題；通過一題多解對溝通知識和方法，開拓解題思路是有益的．