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已知直線l：(k－1)x＋(2k＋1)y＝2k＋1和圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝16．

①求證：無論k取何值，直線l與圓C都相交；

②求直線l被圓C截得的弦長的最小值和弦長取得最小值時實數k的值．

答案：
解析：

　　解：①因為直線，即，

　　由得，所以直線恒過定點　　3分

　　又，則點在圓的內部，所以無論取何值，直線與圓都相交　　5分

　　②設直線與圓相交于、兩點，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則，要使最小，當時，只需要最大即可．又因為，所以當時，最小　　8分

　　此時，所以　　9分

　　當弦長時，直線．

　　又因為，所以直線的斜率　　11分

　　又，所以　　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知直線l：x=my+1過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦點F，拋物線：x2=4
3
y的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，當m變化時，探求λ1+λ2的值是否為定值？若是，求出λ1+λ2的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試證明當m變化時，直線AE與BD相交于定點N(
5
2
，0)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+1與拋物線C：y2=x，則“k≠0”是“直線l與拋物線C有兩個不同交點”的
必要而不充分條件
必要而不充分條件
條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知半徑為2的圓的圓心C在x軸上，圓心C的橫坐標是非負整數，且與直線4x+3y+10=0相切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+1與圓相交于P、Q兩點，若
OP
•
OQ
=-2，求k的值；
（Ⅲ）已知直線l：y=kx+1，過點（0，1）作直線l1與l垂直，且直線l1與圓C交于M、N兩點，求四邊形PQMN面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x2-y2=1的左支交于點A，右支交于點B
（1）求k的取值范圍；
（2）若直線l與y軸交于點P，且滿足|PB|=2|PA|，求直線l的方程．

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