已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2
5
，離心率為
5
5
，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過F2作直線PF2的垂線F2Q交橢圓于Q點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，過P作動(dòng)直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M，N，在線段MN上取點(diǎn)H（異于點(diǎn)M，N），滿足
MP
PN
=
MH
HN
，試證明點(diǎn)H恒在一定直線上．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意可得
2a=2
5
e=
c
a
=
5
5
a2=b2+c2
，求出a，b，c，可得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)PF2⊥F2Q，可得-y1y0=4（x1-1），再利用直線的斜率公式，即可證明；
（3）設(shè)過P（5，3）的直線L與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），點(diǎn)H（x，y），確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用4
x
2
1
+5
y
2
1
=20，4
x
2
2
+5
y
2
2
=20，即可得證．
解答： 解：（1）由題意可得
2a=2
5
e=
c
a
=
5
5
a2=b2+c2
，解得a=
5
，c=1，b=2，
所以橢圓E：
x2
5
+
y2
4
=1．
（2）由（1）可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=
a2
c
=5，F(xiàn)2（1，0）
設(shè)P（5，y0），Q（x1，y1），
因?yàn)镻F2⊥F2Q，所以kQF2kPF2=
y0
5-1
•
y1
x1-1
=-1，
所以-y1y0=4（x1-1），
又因?yàn)?span id="io49v9e" class="MathJye">kPQkOQ=
y1
x1
•
y1-y0
x1-5
=
y12-y1y0
x
2
1
-5x1
=
y
2
1
+4(x1-1)
x
2
1
-5x1
且
y
2
1
=4(1-
x
2
1
5
)
代入化簡(jiǎn)得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值-
4
5
．
（3）設(shè)過P（5，3）的直線L與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），點(diǎn)H（x，y），
則4
x
2
1
+5
y
2
1
=20，4
x
2
2
+5
y
2
2
=20，
設(shè)
MP
PN
=
MH
HN
=λ，則（x1-5，y1-3）=λ（x2-5，y2-3），（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y）
整理得5=
x1-λx2
1-λ
，x=
x1+λx2
1+λ
，3=
y1-λy2
1-λ
，y=
y1+λy2
1+λ

從而5x=
x12-λ2y22
1-λ2
，3y=
y12-λ2y22
1-λ2

由于4
x
2
1
+5
y
2
1
=20，4
x
2
2
+5
y
2
2
=20，
∴20x+15y=
4
x
2
1
-4λ2
x
2
2
+5
y
2
1
-5λ2
y
2
2
1-λ2
=
4
x
2
1
+5
y
2
1
-λ2(4
x
2
2
+5
y
2
2
)
1-λ2
=20，
所以點(diǎn)H恒在直線20x+15y-20=0，即4x+3y-4=0上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查斜率公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線x-
3
y+1=0的傾斜角大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E為PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：CE⊥AB；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A為45°，求直線CE與平面PAB所成角的正切值．
（Ⅲ）若PA=kAB，求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線f（x）=cosx（x＞0）上所有最值點(diǎn)按橫坐標(biāo)由小到大的順序排成點(diǎn)列（an，f（an））（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=3nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求sinT7的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無三條直線交于同一點(diǎn)（除原10點(diǎn)外），無兩條直線互相平行．求：
（1）這些直線所成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（除原10點(diǎn)外）；
（2）這些直線交成多少個(gè)三角形？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過左焦點(diǎn)，則橢圓的離心率等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1．
（Ⅰ）設(shè)集合A={-1，1，2，3，4，5}和B={-2，-1，1，2，3，4}，分別從集合A，B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：存在x∈R，x2+mx+1＜0，q：任意x∈R，sinx+cosx＞m，若p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
8
+
y2
2
=1上一點(diǎn)A（2，1）和該橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)B、C，直線AB、AC的斜率分別為k1、k2，且k1+k2=0，則直線BC的斜率k（　�。�
A、k＞
1
2
或k＜-
1
2
B、k=-
1
2
C、k=
1
2
D、k的值不確定

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