Question

若數(shù)列{b_n}滿足：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若cn=

4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時 4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時.

則{c_n}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（1）求上述準(zhǔn)等差數(shù)列{c_n}的前9項的和T₉；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項公式；
（3）設(shè)（2）中的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試研究：是否存在實數(shù)a，使得數(shù)列{S_n}有連續(xù)的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知把n=9分別代入數(shù)列的通項可求c₉，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求準(zhǔn)等差數(shù)列{c_n}的前9項的和T₉；
（2）由a_n+a_n+1=2n可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），兩式相減可知a_n+2-a_n=2，即可證明{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列．分n為奇偶數(shù)即可得出其通項公式；                   
（3）分當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，求出S_n，當(dāng)k為偶數(shù)時，令S_k=50，得k=10．再分別令S₉=50，S₁₁=50得出a即可．

解答：解：（1）T9=

(3+35)×5

2

+

(17+41)×4

2

=211．
（2）∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①，
a_n+1+a_n+2=2（n+1）②，
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*），
∴{a_n}為公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列．
當(dāng)n為偶數(shù)時，an=2-a+(

n

2

-1)×2=n-a，
當(dāng)n為奇數(shù)時，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1；
∴an=

n+a-1，(n為奇數(shù)) n-a，(n為偶數(shù))

（3）當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=a•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2=

1

2

n2；
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=a•

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n-1

2

+

n-1 2 ( n-1 2 -1)

2

×2=

1

2

n2+a-

1

2

．
當(dāng)k為偶數(shù)時，Sk=

1

2

k2=50，得k=10．
由題意，有S9=

1

2

×92+a-

1

2

=50⇒a=10；
或S11=

1

2

×112+a-

1

2

=50⇒a=-10．
∴a=±10．

點評：本題主要考查了等差 數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，以新定義為載體考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，及等差數(shù)列的求和公式的綜合應(yīng)用．屬于中檔題．