Question

若無窮數(shù)列滿足：①對任意，；②存在常數(shù)，對任意，，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
（Ⅰ）若數(shù)列的通項為，證明：數(shù)列為“數(shù)列”；
（Ⅱ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對任意，；
（Ⅲ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：存在，數(shù)列為等差數(shù)列.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）用作差法證，用單調(diào)性證。（Ⅱ）用反證法證明。即假設存在正整數(shù)，使得。根據(jù)和結合放縮法推倒論證得出與已知各項均為正整數(shù)相矛盾，則說明假設不成立即原命題成立。（Ⅲ）由（Ⅱ）知，需分和兩種情況討論，結合已知推理論證，根據(jù)等差的定義可證得存在 ，數(shù)列為等差數(shù)列.本題的關鍵是當可變形得，再用累加法表示，即，根據(jù)進行推理論證。
試題解析：（Ⅰ）證明：由，可得，，
所以，
所以對任意，．
又數(shù)列為遞減數(shù)列，所以對任意，．
所以數(shù)列為“數(shù)列”．             5分
（Ⅱ）證明：假設存在正整數(shù)，使得．
由數(shù)列的各項均為正整數(shù)，可得．
由，可得．
且．
同理，
依此類推，可得，對任意，有．
因為為正整數(shù)，設，則.
在中，設，則．
與數(shù)列的各項均為正整數(shù)矛盾．
所以，對任意，.             10分
（Ⅲ）因為數(shù)列為“數(shù)列”，
所以，存在常數(shù)，對任意，．
設．
由（Ⅱ）可知，對任意，，
則．
若，則；若，則．
而時，有．
所以，，，，中最多有個大于或等于，
否則與矛盾．
所以，存在，對任意的，有．
所以，對任意，．
所以，存在，數(shù)列為等差數(shù)列.            14分