Question

設(shè)A是圓x²+y²=4上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足

DM

=

3

2

DA

，當(dāng)點A在圓上運(yùn)動時，記點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)曲線C的左右焦點分別為F₁、F₂，經(jīng)過F₂的直線m與曲線C交于P、Q兩點，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，求直線m的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）點A在圓x²+y²=4上運(yùn)動，引起點M的運(yùn)動，我們可以由

DM

=

3

2

DA

得到點A和點M坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點A的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點M坐標(biāo)所滿足的方程；
（2）根據(jù)|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，得F₁P⊥F₁Q，即kF1P•kF1Q=-1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，運(yùn)用設(shè)而不求的思想建立關(guān)系，求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），點A的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則點D坐標(biāo)為（x₀，0），
由

DM

=

3

2

DA

可知，x=x₀，y=

3

2

y₀，
∵點A在圓x²+y²=4上，
∴

x

2 0

+

y

2 0

=4．
把x0=x，y0=

2 3

3

y代入圓的方程，得
x2+

4

3

y2=4，即

x2

4

+

y2

3

=1．
∴曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）可知F₂坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)P，Q坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
當(dāng)直線m斜率不存在時易求|PQ|=3，|PF1|=|PF2|=

5

2

，
不符合題意；
當(dāng)直線m斜率存在時，可設(shè)方程為y=k（x-1）．
代入方程

x2

4

+

y2

3

=1，得
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

…*
∵|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，
∴F₁P⊥F₁Q，即kF1P•kF1Q=-1
∴

y1y2

(x1+1)(x2+1)

=-1，
即k²（x₁-1）（x₂-1）+（x₁+1）（x₂+1）=0，
展開并將*式代入化簡得，7k²=9，
解得k=

3 7

7

，或k=

3 7

7

∴直線m的方程為y=

3 7

7

（x-1），或y=-

3 7

7

（x-1）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于難題．