Question

求下列函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間：

⑴；⑵（且）.

Answer 1

解：⑴①原函數(shù)的定義域是；②由，得，

，∴，∴，∴原函數(shù)的值域是；

③∵，

又當(dāng)，

從而；

當(dāng)，

從而。

⑵①定義域?yàn)?img width=196 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/331/66831.gif" >，即：；

②令，

由二次函數(shù)的圖像可知（圖像略），故原函數(shù)的值域?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/317/66817.gif" >；

③當(dāng)時(shí)，由上單調(diào)遞增，可得：原函數(shù)的單調(diào)性與u的單調(diào)性一致，∴原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（3，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（－∞，2）；

      當(dāng)時(shí)，由上單調(diào)遞減，可得：原函數(shù)的單調(diào)性與u的單調(diào)性相反，∴原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，2），單調(diào)減區(qū)間為（3，+∞）。

說明：①求復(fù)合函數(shù)的值域通過換元可轉(zhuǎn)換為求簡(jiǎn)單函數(shù)的值域。

②求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或最值，若為增函數(shù)，則與增減性相同；若為減函數(shù)，則與的增減性相反；這一結(jié)論非常有用，稱為“外增內(nèi)同，外減內(nèi)反”；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性要注意其定義域。