Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，不等式a₁•a₂•…a_n＜2•n！

Answer 1

【答案】分析：（1）將條件變?yōu)椋?-=，因此{1-}為一個等比數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）a₁•a₂•a_n=，為證a₁•a₂•a_n＜2•n！只要證n∈N*時有＞．再由數數歸納法進行證明．
解答：解：（1）將條件變?yōu)椋?-=，因此{1-}為一個等比數列，其首項為
1-=，公比，從而1-=，
據此得a_n=（n≥1）1°
（2）證：據1°得，a₁•a₂•a_n=
為證a₁•a₂•a_n＜2•n！
只要證n∈N*時有＞2°
顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個n∈N*，有≥1-（）3°
用數學歸納法證明3°式：
（1）n=1時，3°式顯然成立，
（2）設n=k時，3°式成立，
即≥1-（）
則當n=k+1時，≥〔1-（）〕•（）
=1-（）-+（）≥
1-（+）即當n=k+1時，3°式也成立．
故對一切n∈N*，3°式都成立．
利用3°得，≥1-（）=1-
=1-＞
故2°式成立，從而結論成立．
點評：本題考查數列的性質和綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題中的隱含條件．