Question

對于函數(shù)f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實數(shù)a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（1）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)？并說明理由；
    第一組：f₁（x）=x+1，f₂（x）=2x，h（x）=5x+1；
    第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（2）設(shè)f₁（x）=2^x，f₂（x）=（

1

2

）^x，a=1，b=-1，生成函數(shù)h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）設(shè)f₁（x）=x，f₂（x）=

1

x

（1≤x≤10），取a=1，b＞0，生成函數(shù)h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）建立h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），求解a，b是否存在即可得到結(jié)論；
（2）將不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值成立，即可求實數(shù)t的取值范圍；
（3）求出h（x）的表達(dá)式，利用基本不等式求對應(yīng)函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）第一組：f₁（x）=x+1，f₂（x）=2x，h（x）=5x+1；
若h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
則5x+1=a•（x+1）+2bx=ax+2bx+a=（a+2b）x+a，
則

a=1 a+2b=5

，即

a=1 b=2

，
∴h（x）是分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
若h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
則x²-x+1=a•（x²-x）+b（x²+x+1）=（a+b）x²+（b-a）x+b，
則

b=1 b-a=-1 a+b=1

，即

b=1 a=2 a=0

，此時方程無解，
∴h（x）不是為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（2）設(shè)f₁（x）=2^x，f₂（x）=（

1

2

）^x，a=1，b=-1，生成函數(shù)h（x）．
則h（x）=f₁（x）-f₂（x）=2^x-（

1

2

）^x，
則h（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈[1，2]時，h（1）≤h（x）≤h（2），
即

3

2

≤h（x）≤

15

4

，
設(shè)a=h（x），則

3

2

≤a≤

15

4

，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，
即等價為-t＞3a²+2a，在

3

2

≤a≤

15

4

有解，
設(shè)g（a）=3a²+2a，對稱軸為a=-

2

2×3

=-

1

3

，
∴g（a）在

3

2

≤a≤

15

4

單調(diào)遞增，
∴g（a）的最小值為g（

3

2

）=3×（

3

2

）²+2×

3

2

=

27

4

+3=

39

4

，
∴-t＞

39

4

，即t＜-

39

4

∴實數(shù)t的取值范圍是t＜-

39

4

；
（3）設(shè)f₁（x）=x，f₂（x）=

1

x

（1≤x≤10），取a=1，b＞0，
則生成函數(shù)h（x）=x+

b

x

，
若h（x）≥b恒成立，
即x+

b

x

≥b，
∴x²-bx+b≥0在1≤x≤10恒成立，
即x²-（x-1）b≥0，
當(dāng)x=1時，不等式為1≥0成立，
當(dāng)1＜x≤10時，不等式等價為b≤

x2

x-1

，
∵

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2，
∴當(dāng)1＜x≤10時，

x2

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2≥2+2

(x-1)? 1 x-1

=2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

1

x-1

，即x=2時取等號，
∴b≤4，
即b的取值范圍是b≤4．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，本題運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計算能力．