若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足和，則稱直線為和的“隔離直線”．

已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(1) 判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明你的結(jié)論；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

【答案】

 (1) 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

證明， ． 

當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．

所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

(2)解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，

因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個(gè)公共點(diǎn)．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立

， 由，得．

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．令，

則， 當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立．

 ∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解法二： 由(1)可知當(dāng)時(shí)， (當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號) ．

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，

使得和恒成立，

令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（09年長沙一中第八次月考理）(13分)若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(Ⅰ)求的極值；

        (Ⅱ) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知,（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），根據(jù)你的數(shù)學(xué)知識，推斷與間的隔離直線方程為                  .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(1)求的極值；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆福建漳州高二下學(xué)期期中考試?yán)頂?shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數(shù)的底數(shù))．

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（14分）若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(1)求的極值；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案