Question

已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD，BC上的點，AB=2，AD=5．AE=1，BF=3現(xiàn)將四邊形AEFB沿EF折成四邊形A′EFB′，使DF⊥B′F
（I）求證：A′EFB′⊥平面CDEF
（II）求二面角B′-FC-E的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)折疊前線段的長度，判定EF與DF的垂直關(guān)系，再利用線線垂直⇒線面垂直，然后由線面垂直⇒面面垂直．
（II）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)作線面垂直，再根據(jù)三垂線定理作二面角的平面角，然后在三角形中求解即可．
解答：解：（I）證明：∵DF=EF=2，ED=4，
∴EF⊥DF，又∵DF⊥B^′F，EF∩B^′F=F，
∴DF⊥平面A^′EFB^′，又DF?平面CDEF，
∴平面A^′EFB^′⊥平面CDEF
（II）過B^′作B^′H⊥EF于H，
由（I）知平面A^′EFB^′⊥平面CDEF，
∴B^′H⊥平面CDEF，
過H作HK⊥CF，交CF延長線于K，連結(jié)B^′K，
由三垂線定理得，B^′K⊥CF，
∴∠B^′KH為二面角B^′-FC-E的平面角，
∵B^′F=3，∠B^′FE=45°，∠B^′HF=90°，
∴B^′H=HF=，HK=
∴tan∠B^′KH==，
即二面角B^′-FC-E的正切值為
點評：本題考查面面垂直的判定及二面角的求法．