Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，e]上的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知a∈R，函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1，對其進行求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于a要分類討論；
（2）假設存在，根據(jù)題意存在實數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直，將問題轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)x₀∈（0，+∞），使得g′（x₀）=0，有解，求出x₀的值，無解，說明不存在；

解答：解：（1）∵f(x)=

a

x

+lnx-1，（x＞0），
∴f^′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

①若a≤0，則，f^′（x）＞0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增
②若0＜a＜e，當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，
當x∈（a，e]時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞增
③若a≥e，則f^′（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減．
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x
∴g′（x）=（

1

x

+1nx-1）e^x+1，由（1）易知，
當a=1時，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0
即x₀∈（0，+∞）時，

1

x0

+lnx0-1≥0．又ex0＞0，
∴g′（x₀）≥1＞0，
曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g′（x₀）=0有實數(shù)解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0無實數(shù)解，故不存在．

點評：此題利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題過程中用到了轉(zhuǎn)化的思想，將問題簡單化，這也高考中常用的方法；