已知，且f（x）=．
（I）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范圍．
【答案】分析：（I）利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡f（x）的解析式為 2sin（2x+）+1，從而求得它的周期．再由
2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-，B= 得到 f（A）=2sin（2A+）+1，根據(jù)A的范圍，
求出 2A+ 的范圍，可得sin（2A+）的范圍，從而求得f（A）的取值范圍．
解答：解：（I）f（x）==2cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）+1，故函數(shù)的周期為π．
令  2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得  kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-，B=，∴f（A）=2sin（2A+）+1．
由于 0＜A＜，∴＜2A+＜，＜sin（2A+）≤1，2＜f（A）≤3，
故f（A）的取值范圍為（2，3]．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，兩個向量的數(shù)量積公式，正弦定理的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•大連一模）已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，且具有以下性質(zhì)：①f（x）-f（-x）=0；②f（x+2）=f（2-x）；③y=f（x）在區(qū)間[0，2]上為增函數(shù)，則對于下述命題：
（Ⅰ）y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱； 
（Ⅱ）y=f（x）為周期函數(shù)，且4是一個周期；
（Ⅲ）y=f（x）在區(qū)間[2，4]上為減函數(shù)．
所有正確命題的序號為
（Ⅱ）、（Ⅲ）
（Ⅱ）、（Ⅲ）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)學公式，且f（x）=數(shù)學公式．
（I）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年安徽省宣城市旌德中學高三（上）第三次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知，且f（x）=．
（I）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省五校聯(lián)盟高三（上）調(diào)研數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知，且f（x）=．
（I）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范圍．

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