Question

【題目】已知函數(shù)，其中實數(shù)為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，解關(guān)于的不等式；

（3）當時，如果函數(shù)不存在極值點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為 ；單調(diào)遞減區(qū)間為 ．（2） （3）

【解析】試題分析：把代入由于對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，函數(shù)定義域為，所以函數(shù)化為，求導(dǎo)后在定義域下研究函數(shù)的單調(diào)性給出單調(diào)區(qū)間；代入，，分和兩種情況解不等式；當時，，求導(dǎo)，函數(shù)不存在極值點，只需恒成立，根據(jù)這個要求得出的范圍.

試題解析：

（1）時，，

令，解得，

且時，，單調(diào)遞減；

時，，單調(diào)遞增．

所以單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）時，．

當時，原不等式可化為．

記，則，

當時，，

所以在單調(diào)遞增，又，故不等式解為；

當時，原不等式可化為，顯然不成立，

綜上，原不等式的解集為．

（3）時，，

，記，

因為時，，

所以不存在極值點時恒成立.

由，解得

且時，，單調(diào)遞減；

時，，單調(diào)遞增．

所以，解得．