若關(guān)于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在區(qū)間[0，π]上有兩個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是
{a|
3
5
＜a≤1，或 a=
1
2
}
{a|
3
5
＜a≤1，或 a=
1
2
}
．
分析：設(shè)t=sinx，則t∈[0，1]，由題意可得，關(guān)于t的方程 2t2-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0，故有①
f（0）f（1）＜0，或②若
△=16a 2+8a-8=0
0＜a＜1
，或③t=0，分別求出實數(shù)a的取值范圍，再取并集，即得所求．
解答：解：于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0 即 2sin2x-4asinx+1-a=0．
由于x∈[0，π]，故 sinx∈[0，1]，設(shè)t=sinx，則t∈[0，1]，2t2-4at+1-a=0．
由于（0，1）內(nèi)的一個t值對應(yīng)了（0，π）內(nèi)的2個x值，
則由題意可得，關(guān)于t的方程f（t）=2t2-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0．
①若f（0）f（1）=（1-a）（3-5a）＜0，解得
3
5
＜a＜1．
②若
△=16a 2+8a-8=0
0＜a＜1
，則解得a=
1
2
．
③若t=0，則由 2t2-4at+1-a=0可得 a=1．
綜上，可得實數(shù)a的取值范圍是{a|
3
5
＜a≤1，或 a=
1
2
}，
故答案為 {a|
3
5
＜a≤1，或 a=
1
2
，}．
點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若關(guān)于x的方程mx=sin|x|（m＞0）在R上恰有3個根，且最小根為α，則有（　�。�
A、m=tanαB、m=cosαC、tanα=αD、tanα=-α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定義域為R，其圖象C關(guān)于直線x=
π
4
對稱，又f（x）在區(qū)間[0，
π
6
]上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）將圖象C向右平移
π
4
個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
①化簡，并求值：
1+f(20°)+g(20°)
1+f(20°)-g(20°)
+4f（10°）；
②若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）+m在區(qū)間[0，
π
6
]上有唯一實根，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若關(guān)于x的方程4x2+5x+k=0的兩根為sinθ，cosθ，請寫出一個以tanθ，cotθ為兩根的一元二次方程：
9x2-32x+9=0（不唯一）
9x2-32x+9=0（不唯一）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3
asinωx•cosωx-cos2ωx+
3
2
(ω∈R+，a∈R)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，
π
2
]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程1-f（x）=m在[0，
π
2
]上只有一個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•淄博二模）已知函數(shù)f(x)=
3
sinωx•cosωx+cos2ωx-
1
2
(ω＞0)，其最小正周期為
π
2
．
（I）求f（x）的表達式；
（II）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
8
個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，
π
2
]上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

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