Question

170、偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，且滿足f（x+1）=-f（x-1），下列判斷：①f（5）=0；②f（x）沒(méi)有最小值；③f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；④f（x）在x=0處取得最大值．其中正確的判斷序號(hào)是

①④

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增且是偶函數(shù)，可判斷f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，根據(jù)f（x+1）=-f（x-1）可推出f（x+2）=-f（x）和（x+4）=f（x），進(jìn)而可推斷函數(shù)在[1，2]單調(diào)減，在[2，3]和[3，4]上單調(diào)增而且函數(shù)為以4為周期的函數(shù)．進(jìn)而可畫(huà)出函數(shù)的示意圖，根據(jù)示意圖判斷①②③④的正誤．

解答：解：f（x+1）=-f（x-1）
∴f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
又∵f（x+2）=-f（x）
函數(shù)f（x）在[1，2]上的圖象與在[-1，1]上的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，故③不正確．
故函數(shù)在[-1，1]上的示意圖如下
∴當(dāng)x=0時(shí)
f（0+1）=-f（0-1）=-f（1）
∴f（1）=0
∴f（5）=f（4+1）=f（1）=0
故①正確．
如示意圖，f（2）為函數(shù)的最小值，f（0）=f（4）為函數(shù)最大值．故②不正確，④正確．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用．解此類題常可根據(jù)其奇偶性和對(duì)稱性畫(huà)出函數(shù)的示意圖，根據(jù)示意圖來(lái)解題，較為方便直觀．