Question

設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，定義f（x）=（m，n，p），其中m，n，p分別是△MBC，△MAC，△MAB的面積，若f(Q)=(

1

2

，x，y)，

1

x

+

4

y

=a ， 則

a2+2

a

的取值范圍是

[

163

9

，+∞）

．

Answer 1

分析：先確定x+y=1-

1

2

=

1

2

，再利用基本不等式，確定a≥18，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴由向量的數(shù)量積公式得|

AB

||

AC

|cos∠BAC=2

3

∴|

AB

||

AC

|=4
∴S△ABC=

1

2

|

AB

||

AC

|sin30°=1
∴x+y=1-

1

2

=

1

2

∴a=

1

x

+

4

y

=2（

1

x

+

4

y

）（x+y）=2（

y

x

+

4x

y

+5）≥2(2

y x • 4x y

+5)=18
當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

4x

y

時(shí)．取等號(hào)，∴a≥18
∵

a2+2

a

=a+

2

a

在（0，

2

）上單調(diào)遞減，在（

2

，+∞）上單調(diào)遞增
∴

a2+2

a

=a+

2

a

在[18，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

a2+2

a

=a+

2

a

≥

163

9

∴

a2+2

a

的取值范圍是[

163

9

，+∞）
故答案為：[

163

9

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的應(yīng)用和向量的數(shù)量積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．