設M是△ABC內(nèi)一點，
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，定義f（x）=（m，n，p），其中m，n，p分別是△MBC，△MAC，△MAB的面積，若f(Q)=(
1
2
，x，y)，
1
x
+
4
y
=a ， 則
a2+2
a
的取值范圍是
[
163
9
，+∞）
[
163
9
，+∞）
．
分析：先確定x+y=1-
1
2
=
1
2
，再利用基本不等式，確定a≥18，進而利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，
∴由向量的數(shù)量積公式得|
AB
||
AC
|cos∠BAC=2
3

∴|
AB
||
AC
|=4
∴S△ABC=
1
2
|
AB
||
AC
|sin30°=1
∴x+y=1-
1
2
=
1
2

∴a=
1
x
+
4
y
=2（
1
x
+
4
y
）（x+y）=2（
y
x
+
4x
y
+5）≥2(2
y
x
•
4x
y
+5)=18
當且僅當
y
x
=
4x
y
時．取等號，∴a≥18
∵
a2+2
a
=a+
2
a
在（0，
2
）上單調(diào)遞減，在（
2
，+∞）上單調(diào)遞增
∴
a2+2
a
=a+
2
a
在[18，+∞）上單調(diào)遞增，
∴
a2+2
a
=a+
2
a
≥
163
9

∴
a2+2
a
的取值范圍是[
163
9
，+∞）
故答案為：[
163
9
，+∞）．
點評：本題考查基本不等式的應用和向量的數(shù)量積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是△ABC內(nèi)一點，且△ABC的面積為1，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（
1
2
，x，y），則
1
x
+
4
y
的最小值是（　�。�
A、8B、9C、16D、18

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是△ABC內(nèi)一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(P)=(
1
2
，x，y)則
1
x
+
4
y
的最小值（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•上海模擬）設M是△ABC內(nèi)一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)=(
1
2
，x，y)，則
1
x
+
4
y
的最小值是
18
18
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是△ABC內(nèi)一點，且
AB
•
AC
=4
3
，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)=(1，x，y)，則
1
x
+
4
y
的最小值（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案