Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+x，(x≤1) lnx，(x＞1)

，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點且x₁＜1，x₂＞1，若直線PQ是函數(shù)f（x）圖象的切線且P、Q都是切點，求證：3＜x₂＜4；（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）的定義域為D，區(qū)間I⊆D，若函數(shù)g（x）在I上可導，對任意的x₀∈I，g（x）的圖象在（x₀，g（x₀））處的切線為l，函數(shù)g（x）圖象上所有的點都在直線l上方或直線l上，則稱區(qū)間I為函數(shù)g（x）的“下線區(qū)間”．類比上面的定義，請你寫出函數(shù)“上線區(qū)間”的定義，并根據(jù)你所給的定義，判斷區(qū)間（-∞，

3

8

）是否是函數(shù)f（x）的“上線區(qū)間”（不必證明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別當x小于等于1求出f′（x）=0時x的值，然后利用x的值和x=1分區(qū)間討論導函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而當x大于1時得到導函數(shù)恒大于0得到函數(shù)的增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）當x₁＜1時求出f′（x₁）即為直線PQ的斜率，根據(jù)直線PQ過（x₁，f（x₁））和求出的f′（x₁）值寫出直線PQ的方程①，當x₂＞1時求出f′（x₂）即為直線PQ的斜率，根據(jù)直線PQ過（x₂，f（x₂））和求出的f′（x₂）的值寫出直線PQ的方程②，因為兩條直線表示同一條直線，所以聯(lián)立①②消去x₁，得到關(guān)于x₂的關(guān)系式，令φ（x）等于這個關(guān)系式，則x₂是φ（x）圖象與x軸交點的橫坐標．當x大于1時求出φ′（x）判斷其值小于0即φ（x）為減函數(shù)，因為φ（3）大于0，而φ（4）小于0，所以3＜x₂＜4得證；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知-2x₁+1=

1

x2

∈（

1

4

，

1

3

），∴x₁∈（

1

3

，

3

8

），再結(jié)合f（x）圖象得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當x≤1時，由f′（x）=-2x+1=0得x=

1

2

；
當x＞1時，f′（x）=

1

x

＞0
列表：

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

1

2

），（1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（

1

2

，1）．
f（x）的極大值為f（

1

2

）=

1

4

，極小值為f（1）=0．
（Ⅱ）∵x₁＜1∴f′（x₁）=-2x₁+1
∴直線PQ的方程為y-f（x₁）=f′（x₁）（x-x₁）
即y-（-x₁²+x₁）=（-2x₁+1）（x-x₁），y=（-2x₁+1）x+x₁²①
∵x₂＞1∴f′（x₂）=

1

x2

∴直線PQ的方程為y-f（x₂）=f′（x₂）（x-x₂）
即y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂），y=

1

x2

x+lnx₂-1②
∵①②表示同一條直線方程，∴

-2x1+1= 1 x2 x 2 1 =lnx2-1

消去x₁，得[

1

2

（1-

1

x2

）]²=lnx₂-1，即

1

x 2 2

-

2

x2

-4lnx₂+5=0
令φ（x）=

1

x2

-

2

x

-4lnx+5（x＞1），則x₂是φ（x）圖象與x軸交點的橫坐標．
∵當x＞1時，φ′（x）=-

2

x3

+

2

x2

-

4

x

=

-2+2x-4x2

x3

=

4(x- 1 4 )2+ 7 4

x3

＜0
∴φ（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)
又φ（3）=

1

9

-

2

3

-4ln3+5=

40

9

-4ln3=

4

9

(10-9ln3)＞

4

9

(10-9×1.1)＞0
φ（4）=

1

16

-

2

4

-4ln4+5=-

7

16

+5-8ln2＜-

7

16

+5-8×0.69=-

7

16

-0.52＜0
∴3＜x₂＜4
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）的定義域為D，區(qū)間I⊆D，若函數(shù)g（x）在I上可導，對任意的x₀∈I，g（x）的圖象在（x₀，g（x₀））處的切線為l，函數(shù)g（x）圖象上所有的點都在直線l下方或直線l上，則稱區(qū)間I為函數(shù)g（x）的“上線區(qū)間”，
所以（-∞，

3

8

）不是函數(shù)f（x）的“上線區(qū)間”．

點評：本題要求學生會根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，在實際問題中掌握導數(shù)所表示的意義，是一道中檔題．