Question

某單位組織4個(gè)部門(mén)的職工旅游，規(guī)定每個(gè)部門(mén)只能在韶山、衡山、張家界3個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)，假設(shè)各部門(mén)選擇每個(gè)景區(qū)是等可能的．
（Ⅰ）求3個(gè)景區(qū)都有部門(mén)選擇的概率；
（Ⅱ）求恰有2個(gè)景區(qū)有部門(mén)選擇的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，某單位的4個(gè)部門(mén)選擇3個(gè)景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為3⁴．從4個(gè)部門(mén)中任選2個(gè)作為1組，、另外2個(gè)部門(mén)各作為1組，共3組，共有C₄²種分法，每組選擇不同的景區(qū)，共有3！種選法，
（2）先從3個(gè)景區(qū)任意選定2個(gè)，共有C₃²種選法，再讓4個(gè)部門(mén)來(lái)選擇這2個(gè)景區(qū)，分兩種情況：①?gòu)?個(gè)部門(mén)中任取1個(gè)作為1組，另外3個(gè)部門(mén)作為1組，共2組，每組選擇2個(gè)不同的景區(qū)，②從4個(gè)部門(mén)中任選2個(gè)部門(mén)到1個(gè)景區(qū)，另外2個(gè)部門(mén)在另1個(gè)景區(qū)．列出結(jié)果．

解答：解：某單位的4個(gè)部門(mén)選擇3個(gè)景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為3⁴．
由于是任意選擇，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．
（I）從4個(gè)部門(mén)中任選2個(gè)作為1組，
另外2個(gè)部門(mén)各作為1組，共3組，共有C₄²=6種分法，
每組選擇不同的景區(qū)，共有3！種選法，
∴3個(gè)景區(qū)都有部門(mén)選擇可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為C₄²•3!
記“3個(gè)景區(qū)都有部門(mén)選擇”為事件A₁，
∴事件A₁的概率為
P（A₁）=

C 2 4 •3!

34

=

4

9

．
（II）先從3個(gè)景區(qū)任意選定2個(gè)，共有C₃²=3種選法，
再讓4個(gè)部門(mén)來(lái)選擇這2個(gè)景區(qū)，分兩種情況：
第一種情況，從4個(gè)部門(mén)中任取1個(gè)作為1組，另外3個(gè)部門(mén)作為1組，共2組，每組選擇2個(gè)不同的景區(qū)，共有C₄¹•2!種不同選法．
第二種情況，從4個(gè)部門(mén)中任選2個(gè)部門(mén)到1個(gè)景區(qū)，另外2個(gè)部門(mén)在另1個(gè)景區(qū)，共有C₄²種不同選法，
∴恰有2個(gè)景區(qū)有部門(mén)選擇可能的結(jié)果為3（C₄¹•2!+C₄²）．
∴P（A₂）=

3( C 2 4 •2!+ C 2 4 )

34

=

14

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題也可以這樣解：分別記“恰有2個(gè)景區(qū)有部門(mén)選擇”和“4個(gè)部門(mén)都選擇同一個(gè)景區(qū)”為事件A₂和A₃，則事件A₃的概率為P（A₃）=

3

34

=

1

27

，事件A₂的概率為P（A₂）=1-P（A₁）-P（A₃）=1-

4

9

-

1

27

=

14

27

．