Question

已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)求的極值.
（2）證明：在上為增函數(shù)。

Answer 1

（1） 當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，在處取得極小值，無極大值。 （2）見解析

試題分析：（1） ,在求極值時要對參數(shù)討論,顯然當(dāng)時為增函數(shù),無極值,當(dāng)時可求得的根,再討論兩側(cè)的單調(diào)性;（2）要證明增函數(shù),可證明恒正,可再次對函數(shù)進行求導(dǎo)研究其單調(diào)性與最值,只要說明的最小值恒大于等于0即可.已知函數(shù)在一個區(qū)間上的單調(diào)性,可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個區(qū)間上恒正或恒負(fù)問題,變?yōu)橐粋�恒成立問題,可用相應(yīng)函數(shù)的整體最值來保證,若求參數(shù)范圍可以采用常數(shù)分離法.
試題解析：（1）由題意：
①當(dāng)時，，為上的增函數(shù)，所以無極值。
②當(dāng)時，令得， 
，；，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以在處取得極小值，且極小值為，無極大值
綜上，當(dāng)時，無極值；當(dāng)，在處取得極小值，無極大值。
（2）由
設(shè)，則
所以時，；時，
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以即在上單調(diào)遞增.