（1）討論函數(shù)（x∈[e-1，e]）的圖象與直線y=k的交點個數(shù)．
（2）求證：對任意的n∈N*，不等式總成立．
【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在上遞增，函數(shù)f（x）在上遞減，由此求得函數(shù)的值域，從而得到f（x）圖象與直線y=k的交點個數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在（0，+∞）上的最大值為，x∈（0，+∞）時，，
用數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合放縮法證明不等式成立．
解答：（1）解：由題意得：．令f'（x）=0，得x=．
當(dāng)時，f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在上遞增；
當(dāng)時，f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在上遞減．
又因為f（e-1）=-e2，，，所以當(dāng)或k＜-e2時，沒有交點；
當(dāng)或時，有唯一的交點；當(dāng)時，有兩個交點．
（2）證明：由（1）知函數(shù)f（x）在上遞增，在上遞減，
故f（x）在（0，+∞）上的最大值為．
即對x∈（0，+∞）均有，故．
當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；當(dāng)n≥2時，有  
=≤ 
＜= 
=．
綜上可知，對任意的n∈N*，不等式成立．
點評：本題主要考查用放縮法證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+x2-ax，a，x∈R
（1）討論函數(shù)g(x)=
f(x)x
-lnx的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果存在a∈[-2，-1]，使函數(shù)h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1）在x=-1處取得最小值，試求b的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）討論函數(shù)f(x)=
lnx
x2
（x∈[e-1，e]）的圖象與直線y=k的交點個數(shù)．
（2）求證：對任意的n∈N*，不等式
ln1
14
+
ln2
24
+
ln3
34
+…+
lnn
n4
＜
1
2e
總成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
（1）討論函數(shù)g(x)=af(x)-
1
2
x2（a≥0）的單調(diào)性．
（2）求證：(1+
1
1
)(1+
1
2
)(1+
1
3
)…(1+
1
n
)＜e
n+2
2
（n∈N*）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分13分）已知函數(shù)   （1）討論函數(shù)f (x)的極值情況；      （2）設(shè)g (x) = ln(x + 1)，當(dāng)x1>x2>0時，試比較f (x1 – x2)與g (x1 – x2)及g (x1) –g (x2)三者的大�。徊⒄f明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆內(nèi)蒙古巴彥淖爾市中學(xué)高二下期中文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=1 .

(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若  ,且f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值為M(a) ，最小值為N(a)，

令g(a)= M(a)-N(a),求 g(a)的表達式,試求g(a)的最小值.

 

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