Question

如圖，某自來(lái)水公司要在公路兩側(cè)排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線AE排水管l₁，在路南側(cè)沿直線CF排水管l₂，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線EF將l₁與l₂接通．已知AB=60m，BC=80m，公路兩側(cè)排管費(fèi)用為每米1萬(wàn)元，穿過(guò)公路的EF部分的排管費(fèi)用為每米2萬(wàn)元，設(shè)EF與AB所成角為α．矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的排管費(fèi)用為W．
（1）求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求W的最小值及相應(yīng)的角α．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)E作EM⊥BC得到角α，解直角三角形把MF用含α的代數(shù)式表示，把AE，F(xiàn)C也用含α的代數(shù)式表示，然后即可得到W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的排管費(fèi)用為W的最小值．
解答：解：（1）如圖，

過(guò)E作EM⊥BC，
垂足為M，由題意得∠MEF=α（0），
故有MF=60tanα，，AE+FC=80-60tanα，
所以==80-．
（2）設(shè)（其中），
則=．
令f^′（α）=0得1-2sin2α=0，即，得．
列表

α
f′（α）	+		-
f（α）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以當(dāng)時(shí)有，此時(shí)有W_min=．
答：排管的最小費(fèi)用為萬(wàn)元，相應(yīng)的角．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型，考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題要注意的是需要注明具有實(shí)際意義的函數(shù)定義域，正確的建模是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．