Question

設函數y=2•（|x+1|-|x-1|）．
（1）討論函數的單調性；
（2）求y≥2

2

的解集．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）通過對自變量x取值范圍的討論分析，去掉絕對值符號，得到一次函數或常函數解析式，即可判斷函數的單調性；
（2）通過對x＜-1、-1≤x≤1與x＞1的討論，解不等式y(tǒng)≥2

2

，最后取其并集即可．

解答： 解：（1）∵y=2•（|x+1|-|x-1|）=

-4，x＜-1 4x，-1≤x≤1 4，x＞1

．
∴當x＜-1時，y=-4，為常函數；
當-1≤x≤1時，y=4x，為增函數；
當x＞1時，y=4，為常函數；
（2）當x＜-1時，y-2

2

=-4-2

2

＜0，故y≥2

2

的解集為∅；
當-1≤x≤1時，y=4x，由y-2

2

=4x-2

2

≥0得：x≥

2

2

，又-1≤x≤1，
∴

2

2

≤x≤1；
當x＞1時，y=4≥2

2

恒成立；
綜上所述，y≥2

2

的解集為{x|x≥

2

2

}．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查函數單調性的性質，通過對自變量x取值范圍的討論分析，去掉絕對值符號是解決問題的關鍵，考查分類討論思想與運算能力，屬于中檔題．