Question

某軍工企業(yè)生產(chǎn)一種精密電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿(mǎn)足函數(shù)：R（x）=

400x- 1 2 x2 ，0≤x≤400 80000 ，x＞400

其中x是儀器的月產(chǎn)量．
（1）將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（總收益=總成本+利潤(rùn)．）

Answer 1

分析：（1）先設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，寫(xiě)出總成本進(jìn)而得出利潤(rùn)函數(shù)的解析式；
（2）分兩段求出函數(shù)的最大值：當(dāng)0≤x≤400時(shí)，和當(dāng)x＞400時(shí)，最后得出當(dāng)月產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大及最大利潤(rùn)即可．

解答：解：（1）設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20000+100x，
從而利潤(rùn)f(x)=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x，x＞400.

（2）當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f（x）=-

1

2

(x-300)2+25000，
所以當(dāng)x=300時(shí)，有最大值25000；
當(dāng)x＞400時(shí)，f（x）=60000-100x是減函數(shù)，
所以f（x）=60000-100×400＜25000．
所以當(dāng)x=300時(shí)，有最大值25000，
即當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是25000元．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值．