Question

正方形ABCD的邊長為1，分別取BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊這個正方形，使B、C、D重合為一點(diǎn)P，得到一個四面體P-AEF，
（1）求證：AP⊥EF；
（2）求證：平面APE⊥平面APF．

Answer 1

證明：（1）因為∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P．所以PA⊥平面PEF，
因為EF?平面PEF，所以PA⊥EF；
（2）因為∠APE=∠APF=90°，
PA∩PF=P．所以PE⊥平面APF，
又PE?平面APE，所以平面APE⊥平面APF．
分析：（1）由∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P?PA⊥平面PEF?AP⊥EF；
（2）由∠APE=∠APF=90°，PA∩PF=P?PE⊥平面APF?平面APE⊥平面APF．
點(diǎn)評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)以及直線和直線垂直的判定．在證明線線垂直時，其常用方法線證明線面垂直，再證明線線垂直．