Question

已知橢圓 的離心率為，過的左焦點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為，在圓上是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）;若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足..

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、垂徑定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩個(gè)圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.第一問，利用直線方程得到橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合離心率，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，利用點(diǎn)到直線的距離求出圓心到直線的距離，由已知弦長為，則由垂徑定理得到圓的半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到和，代入已知中，得到P點(diǎn)的軌跡方程為圓，利用兩個(gè)圓的位置關(guān)系判斷兩個(gè)圓相交，所以存在點(diǎn)P.

因?yàn)橹本�的方程為，

令，得，即 1分

∴ ，又∵，

∴ ，

∴ 橢圓的方程為. ４分

（2）∵ 圓心到直線的距離為，

又直線被圓截得的弦長為，

∴由垂徑定理得，

故圓的方程為. ８分

設(shè)圓上存在點(diǎn)，滿足即，

且的坐標(biāo)為，

則， 整理得，它表示圓心在，半徑是的圓。

∴ １２分

故有，即圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)。

∴圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足. １４分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、垂徑定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩個(gè)圓的位置關(guān)系.