Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x）））=0}，若A∩B≠∅且存在x∈B，x∉A則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）
A．b≠0
B．b＜0或b≥4
C．0≤b＜4
D．b≤4或b≥4

Answer 1

【答案】分析：由f（f（x）））=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0，由此求得A={0，-b}．方程f（f（x）））=0即（x²+bx）（x²+bx+b）=0，解得x=0，或x=-b，或 x=．由于存在x∈B，x∉A，故b²-4b≥0，從而求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．
解答：解：由題意可得，A是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)構(gòu)成的集合．
由f（f（x）））=0，可得 （x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0．
故函數(shù)f（x）=x²+bx，故由f（x）=0可得 x=0，或x=-b，故A={0，-b}．
方程f（f（x）））=0，即 （x²+bx）²+b（x²+bx）=0，即 （x²+bx）（x²+bx+b）=0，
解得x=0，或x=-b，或 x=．
由于存在x∈B，x∉A，故b²-4b≥0，解得b≤0，或b≥4．
由于當(dāng)b=0時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，故舍去，即實(shí)數(shù)b的取值范圍為{b|b＜0或b≥4 }，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，集合建的包含關(guān)系，注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題．