Question

若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=2^1-x；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=f（x-1）．則函數(shù)的零點(diǎn)有     個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：先利用函數(shù)的奇偶性和周期性把f（x）在原點(diǎn)右側(cè)的圖象畫出，再把y=x的圖象畫出，看在原點(diǎn)右側(cè)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)的結(jié)論．
解答：解：因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，f（x）=f（x-1），
所以f（x+1）=f[（x+1）-1]=f（x）
在[0，+∞）上其周期為1．
因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又因?yàn)閥=x也是奇函數(shù)，所以函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
故我們看在（0，+∞）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，把函數(shù)f（x）與y=x的圖象畫出，由圖得，交點(diǎn)3個(gè)，又因?yàn)槎歼^原點(diǎn)，故零點(diǎn)有1+2×3=7個(gè)
故答案為  7．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)的零點(diǎn)的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，又可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，函數(shù)與方程的思想得到了很好的體現(xiàn)．